Elastische Schocks in einer Dimension, besonderen Fällen, Übungen

Der elastische Schocks o Elastische Kollisionen bestehen aus kurzen, aber intensiven Wechselwirkungen zwischen Objekten, bei denen sowohl die Bewegung als auch die kinetische Energie erhalten bleiben. Choques sind sehr häufige Ereignisse in der Natur: Von subatomaren Partikeln zu Galaxien, die durch Billardkugeln und Schockautos in Attraktionsparks gelangen, sind alle Objekte, die kollidieren können.

Während einer Kollision oder eines Schocks sind die Interaktionskräfte zwischen Objekten sehr intensiv, viel mehr als diejenigen, die extern handeln können. Auf diese Weise kann bestätigt werden, dass die Partikel während der Kollision ein isoliertes System bilden.

Kollisionen zwischen Billardkugeln können als elastisch angesehen werden. Quelle: Pixabay.

In diesem Fall ist es erfüllt, dass:

Wo P Es ist die Vektormenge der Bewegung, deren Größe ist MV (Geschwindigkeitsmasse). Wenn die Ableitung von P ist null, das bedeutet das P Es ist konstant. Und das bedeutet, dass es nicht variiert, dass es erhalten bleibt. Deshalb können wir das bestätigen:

P_entweder = P_F

Die Bewegungsmenge P_entweder Vor der Kollision ist die gleiche wie nach der Kollision. Dies wird für jede Art Kollision erfüllt, sowohl elastisch als auch unelastisch.

Jetzt müssen Sie Folgendes berücksichtigen: Während einer Kollision erleben die Objekte eine bestimmte Verformung. Wenn der Zusammenstoß elastisch ist, können Objekte schnell ihre ursprüngliche Form zurückerhalten.

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Kinetische Energieeinsparung

Normalerweise wird während eines Schocks ein Teil der Energie der Objekte in Hitze, Verformung, Schall und manchmal sogar bei der Erzeugung von Licht ausgegeben. Die kinetische Energie des Systems nach der Kollision ist also geringer als die ursprüngliche kinetische Energie.

Wenn kinetische Energie K ist, ist es dann erhalten:

K_entweder = K_F

Das bedeutet, dass die während der Kollision wirkenden Kräfte konservativ sind. Während die Kollision dauert, wird die kinetische Energie kurz in potentielle Energie umgewandelt und dann ist es wieder eine kinetische Energie. Die jeweiligen kinetischen Energien variieren, aber die Summe bleibt konstant.

Perfekt elastische Kollisionen sind nicht häufig, obwohl Billardkugeln ein ziemlich guter Ansatz sowie Kollisionen zwischen idealen Gase -Molekülen sind.

Elastische Schocks in einer Dimension

Untersuchen wir eine Kollision von zwei Partikeln davon in einer einzigen Dimension; Das heißt, die Partikel, die interagieren, bewegen sich beispielsweise entlang der x -Achse. Angenommen, sie haben Massen M₁ Und M₂. Die anfänglichen Geschwindigkeiten von jedem sind oder₁ Und oder₂ bzw. Die endgültigen Geschwindigkeiten sind v₁ Und v₂.

Wir können auf die Vektornotation verzichten, da die Bewegung entlang der X-Achse durchgeführt wird, zeigen die Zeichen (-) und (+) jedoch die Bedeutung der Bewegung an. Links ist negativ und rechts nach rechts, durch Konvention.

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-Formeln für elastische Kollisionen

Für die Bewegung

M₁oder₁ + M₂oder₂ = m₁v₁ + M₂v₂

Für kinetische Energie

½ m₁oder²₁ + ½ m₂oder²₂ = ½ m₁v²₁ +  ½ m₂v²₂

Wenn die anfänglichen Massen und Geschwindigkeiten bekannt sind, ist es möglich, die Gleichungen neu zu gruppieren, um die endgültigen Geschwindigkeiten zu finden.

Das Problem ist, dass es im Prinzip notwendig ist. Das Ideal wäre, Ausdrücke zu finden, die sie nicht enthalten.

Die erste besteht darin, auf den ½ Faktor zu verzichten und beide Gleichungen so zu ordnen, dass ein negatives Vorzeichen erscheint und die Massen Faktor sein können:

M₁oder₁ - M₁v₁ = M₂v₂ - M₂oder₂

M₁oder²₁ - M₁v²₁  = +M₂v²₂ - M₂oder²₂

Auf diese Weise zum Ausdruck gebracht werden:

M₁(oder₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - oder₂)

M₁(oder²₁ - v²₁ ) = m₂ (v²₂ - oder²₂)

Vereinfachung, um Quadrate von Geschwindigkeiten zu beseitigen

Jetzt müssen Sie das bemerkenswerte Produkt verwenden, es fügt seine Differenz in der zweiten Gleichung hinzu, die einen Ausdruck erhält, der die Quadrate nicht enthält, wie ursprünglich gewünscht:

M₁(oder₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - oder₂)

M₁(oder₁ - v₁ ) (oder₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - oder₂) (v₂ + oder₂)

Der nächste Schritt besteht darin, die erste Gleichung im zweiten zu ersetzen:

M₂(v₂ - oder₂) (oder₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - oder₂) (v₂ + oder₂)

Und wenn der Begriff wiederholt wird M₂(v₂ - oder₂) Auf beiden Seiten der Gleichheit wird dieser Begriff storniert und ist wie folgt:

(oder₁ + v₁) = (V₂ + oder₂)

Oder noch besser:

oder₁ - oder₂= v₂ -  v₁

Endgeschwindigkeiten v₁ und v₂ der Partikel

Jetzt gibt es zwei lineare Gleichungen, mit denen es einfacher ist, zu arbeiten. Wir werden sie wieder unter den anderen platzieren:

M₁oder₁ + M₂oder₂ = m₁v₁ + M₂v₂

oder₁ - oder₂= v₂ -  v₁

Multiplizieren der zweiten Gleichung mit M₁ Und Hinzufügen von Term zu Begriff bleibt:

M₁oder₁ + M₂oder₂ = m₁v₁ + M₂v₂

M₁oder₁ - M₁oder₂= m₁v₂ - M₁ v₁

-

2 m₁oder₁ + (M₂ - M₁) oder₂ = (m₂ + M₁) v₂

Und es ist bereits möglich zu klären v₂. Zum Beispiel:

Eine ähnliche Behandlung kann durchgeführt werden, um eine Gleichung für zu finden v₁. Der Leser bleibt als Übung, um das zu demonstrieren:

Sonderfälle in elastischen Kollisionen

Jetzt, da Gleichungen für die endgültigen Geschwindigkeiten beider Partikel verfügbar sind, ist es Zeit, einige spezielle Situationen zu analysieren.

Zwei identische Massen

Dann M₁ = m₂ = m Und:

v₁ = u₂

v₂ = u₁

Partikel tauschen einfach ihre Geschwindigkeiten nach der Kollision aus.

Zwei identische Massen, von denen einer ursprünglich in Ruhe war

Nochmal  M₁ = m₂ = m und das annehmen oder₁ = 0:

v₁ = u₂

v₂ = 0

Nach dem Absturz erhält das Partikel, das in Ruhe war.

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Zwei verschiedene Massen, einer von ihnen anfänglich in Ruhe

In diesem Fall nehmen wir an oder₁ = 0, Aber die Massen sind unterschiedlich:

Was ist, wenn M₁ ist viel größer als M₂?

Es kommt vor, dass m₁ In Ruhe halten und M₂ Es wird mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgegeben, mit der es betroffen ist.

Huygens-Newton-Rückerstattungskoeffizient oder -Regel

Zuvor wurde die folgende Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten für zwei Objekte in der elastischen Kollision abgeleitet: oder₁ - oder₂ = v₂ -  v₁. Diese Unterschiede sind die relativen Geschwindigkeiten vor und nach der Kollision. Im Allgemeinen ist es für eine Kollision erfüllt, dass:

oder₁ - oder₂ = -(v₁ -  v₂)

Das Konzept der relativen Geschwindigkeit wird besser geschätzt, wenn sich der Leser vorstellt, dass es sich auf einem der Partikel befindet und aus dieser Position die Geschwindigkeit beobachtet, mit der sich das andere Partikel bewegt. Die vorherige Gleichung wird so umgeschrieben:

Wenn die kinetische Energie nicht erhalten bleibt, beträgt der angegebene Quotient weniger als 1. Lass uns anrufen Und zum Wert des dimensionslosen Quotienten:

Ach ja:

Der Wert von Und ist zwischen 0 und 1 und heißt Rückerstattungskoeffizient. Wenn der Zusammenstoß elastisch ist, ist e = 1. Wenn es völlig unelastisch ist, e = 0, während es einen anderen Zwischenwert hat, hat eine kinetische Energie in anderen Arten von Energie verteilt.

Gelöste Übungen

-Übung gelöst 1

Ein Billardkugel bewegt sich mit 30 cm/s nach links und kolliert von vorne mit einem weiteren identischen Ball, der sich nach rechts auf 20 cm/s bewegt. Die beiden Bälle haben den gleichen Teig und der Absturz ist perfekt elastisch. Finden Sie die Geschwindigkeit jedes Balls nach dem Aufprall.

Lösung

oder₁ = -30 cm/s

oder₂ = +20 cm/s

Dies ist der Sonderfall, dass zwei identische Massen in einer elastisch -Dimension kollidieren, daher werden die Geschwindigkeiten ausgetauscht.

v₁ = +20 cm/s

v₂ = -30 cm/s

-Übung gelöst 2

Der Rückerstattungskoeffizient eines Balls, der auf dem Boden springt, entspricht 0,82. Wenn Sie aus der Pause fallen? Und nach 3 Rebounds?

Ein Ball springt gegen eine feste Oberfläche und verliert mit jedem Abpraller die Höhe. Quelle: Selbst gemacht.

Lösung

Der Boden kann Objekt 1 in der Rückerstattungskoeffizientengleichung sein. Und es ist immer in Ruhe, so dass:

Die negative Richtung wird nach unten und die Positive ausgewählt. Die Geschwindigkeit eines Objekts, das frei von einer bestimmten Höhe freigesetzt wird H_entweder Ist:

Das Zeichen (-) zeigt an, dass der Ball absteigt:

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Mit dieser Geschwindigkeit springen:

 

Das + Zeichen zeigt an, dass es sich um eine aufsteigende Geschwindigkeit handelt. Und danach erreicht der Ball eine maximale Höhe von:

 

Jetzt kehrt er mit der gleichen Größe wieder auf den Boden zurück, aber das entgegengesetzte Zeichen:

Und springt mit:

Dies erreicht eine maximale Höhe von:

Erreichen Sie den Boden erneut mit:

Aufeinanderfolgende Rebounds

Jedes Mal, wenn der Ball springt und aufsteigt, müssen Sie die Geschwindigkeit erneut mit 0 multiplizieren.82:

Und erreicht eine maximale Höhe, die durch das Quadrat der Geschwindigkeit bestimmt wird:

Zu diesem Zeitpunkt h₃ ist ungefähr 30% von ungefähr 30% H_entweder. Wie groß wäre die Höhe bei 6. Rebounds, ohne Berechnungen so detailliert wie die vorherigen vornehmen zu müssen??

Ich würde H₆ = 0.82¹² H_entweder = 0.092H_entweder oder nur 9% von H_entweder.

-Übung gelöst 3

Ein 300 -g -Block bewegt sich nördlich auf 50 cm/s und stößt gegen einen 200 g Block, der nach Süden 100 cm/s gerichtet ist. Angenommen, der Zusammenstoß ist vollkommen elastisch. Finden Sie die Geschwindigkeiten nach dem Aufprall.

Daten

M₁ = 300 g; oder₁ = + 50 cm/s

M₂ = 200 g; oder₂ = -100 cm/s

-Übung gelöst 4

Eine Masse von M wird freigelassen₁ = 4 kg von dem auf der Strecke ohne Reibung angegebenen Punkt, bis sie mit m kollidiert₂ = 10 kg in Ruhe. Zu was für eine Höhe ist m₁ Nach der Kollision?

Lösung

Da es keine Reibung gibt, bleibt die mechanische Energie erhalten, um die Geschwindigkeit zu finden oder₁ mit was M₁ Auswirkungen  M_2. Anfänglich ist die kinetische Energie 0, da M₁ Teil des Restes. Wenn Sie sich auf der horizontalen Oberfläche bewegen, hat es keine Höhe, so dass die potentielle Energie 0 beträgt.

Mgh = ½ mu₁ ²

 

oder₂ = 0

Jetzt die Geschwindigkeit von M₁ Nach der Kollision:

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass es zurückgegeben wurde. Mit dieser Geschwindigkeit steigt und die mechanische Energie wieder erhalten bleibt, um zu finden H ', Die Höhe, auf der es nach dem Absturz aufsteigt:

½ mv₁² = mgh '

Beachten Sie, dass Sie bei 8 m Höhe nicht zum Startpunkt zurückkehren. Es hat nicht genug Energie, weil es einen Teil seiner kinetischen Energie die Masse gab M_1.

Verweise

1. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6^th. Ed Prentice Hall. 175-181
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